0.999... =1

Có nhiều cách để đi đến đẳng thức này.

Đơn sơ nhất là:

Nếu hai số khác nhau thì ta có thể tìm được một số khác nằm giữu hai số đó. Tuy nhiên bạn có thể chỉ ra một số nằm giữa 0.999... và 1?


Tiếp theo là:

Đặt x=0.(9) = 0.999... (Số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì 9).
Ta có:
10x = 9.(9)
Lấy 10x-x:
10x - x = 9.(9) - 0.(9)
Điều này có nghĩa là
9x = 9
hay
x = 1
Vậy
0.(9) = 1

Thêm một lập luận nữa

Ta có:
1/3=0. 333...=0.(3)
Suy ra
3x1/3=3x0.333...

hay 1=0.999...= 0.(9).

Lập luận cuối cùng mà VnMath.Com muốn giới thiệu là:
Số 0.999... là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

0.9999... = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
Ta có thể viết lại

Suy ra