Toán học xung quanh các trò chơi ghép hình

Tự nhiên đọc một quyển sách toán cho trẻ con làm tôi nhớ đến trò chơi “Trí Uẩn”, mà hồi bé có được bố mẹ mua cho. Nó gồm một hình chữ nhật cắt thành 7 mảnh, kèm theo 1 quyển sách các hình có thể lắp được từ 7 mảnh đó. Có đến cả trăm hình khác nhau, từ cái thuyền, cái nhà, cho đến Bà Trưng, Ông Mác, v.v. Trong quyển sách chỉ vẽ cái hình đã ghép được, nhưng không nói là phải ghép thế nào, người chơi phải nghĩ ra cách ghép. Nhiều khi nghĩ nát óc. Có thể nói đây là một trò rất thú vị dành cho trẻ em (và cả cho người lớn). Nghe nói, có những đứa bé chưa biết chữ, nhưng khi nhìn thấy hình ghép lại thành con chim thì nhận ra ngay và sung sướng reo lên “con chim”.

Cái hình chữ nhật được cắt 7 mảnh đó trông giống như thế này:

Chỉ với 7 mảnh có hình dạng như trên, có thể ghép thành vô vàn các hình khác nhau, chẳng hạn như những hình sau:

Phải nói đây là một trò chơi vô cùng thông minh, giúp trẻ em phát triển khả năng suy luận lô gíc, trí tuệ toán học. Bạn bè của tôi ai cũng nói là thời nhỏ thích chơi trò này.

Khi còn ở VN thì tôi chỉ biết đó là trò Trí Uẩn, do ông Trí Uẩn nghĩ ra. Khi đi ra nước ngoài, mới biết họ cũng có trò này. Và tên gọi phổ biến cho nó là trò Tangram, có nghĩa là trò xếp hình do một ông họ Tang người Trung Quốc (phiên âm tiếng Việt là ông họ Đường) nghĩ ra từ rất lâu đời. Cái Tangram truyền thống cũng có 7 mảnh, nhưng là cắt từ hình vuông, và khác so với trò Trí Uẩn:

Tuy nhiên, nếu nói là ông Trí Uẩn là người đầu tiên nghĩ ra cách ghép hình từ 7 mảnh cắt theo kiểu trò Trí Uẩn cũng không phải. Sau khi Tangram xuất hiện, thì trên thế giới cũng dần xuất hiện các lối cắt một hình thành các mảnh khác nhau để ghép hình. Kiểu cắt 7 mảnh phổ biến ở Việt Nam hiện nay đã xuất hiện ở Đức ít ra từ thế kỷ thứ 19, và được bán ở các nơi trên thế giới dưới tên gọi Lucky Puzzle, như là GS Đàm Thanh Sơn đã phát hiện ra ở đây. Như vậy, có thể nói, ông Trí Uẩn không phải là người phát minh ra trò Trí Uẩn (bởi vậy nếu gia đình ông Trí Uẩn đòi giữ bản quyền trò này thì cũng không hợp lý, vì nó đã có trên thế giới từ trước). Nhưng ông có đóng góp là tạo được thêm nhiều hình mới cho trò này, trong đó có những hình “khó như điên”.

Một câu hỏi “lý thuyết” là, với 7 mảnh của Lucky Puzzle, thì có thể lắp được bao nhiều hình khác nhau ?

Đây là một bài toán tổ hợp, mà lời giải có thể lớn hơn rất nhiều lần so với phần lớn mọi người hình dung. Tôi thử ước lượng: cứ mỗi mảnh, thì có đến hơn 10 cách lắp mảnh tiếp theo (do các lựa chọn chỗ để, hướng để, v.v. khác nhau). Nếu tính một cách thô thiển, là cố định 1 mảnh, rồi lắp dần 6 mảnh còn lại, mỗi mảnh 10 cách, thì là có đến 10^6 = 1 tỷ cách ! Nhưng tất nhiên là có những cách trùng lặp, chia ra vẫn còn được nhiều triệu cách. Không phải cách nào cũng cho ra hình có ý nghĩa. Nhưng cứ 100 hình có 1 hình hơi giống cái gì đó, thì cũng còn được hàng chục hay hàng trăm nghìn hình khác nhau. Bởi vậy mọi người vẫn còn tha hồ cõ chỗ để sáng tạo thêm các hình mới từ 7 mảnh này !

Con số 7 (mảnh) có vẻ là con số lý tưởng. Nếu số mảnh ít quá, thì các hình sẽ trở nên thô thiển hơn nhiều, và các câu đố ghép hình cũng dễ hơn nhiều. Nhưng nếu nhiều hơn 7 nhiều, thì lại thành quá khó, hoặc là thành trò chơi kiểu lego chứ không còn “đánh đố nát óc” nữa.

Ngoài tangram cổ điển và Trí Uẩn/Lucky Star, người ta cũng nghĩ ra nhiều trò chơi ghép hình tương tự, chẳng hạn từ hình quả trứng, hay hình trái tim, v.v.:

Nói đến trò Tangram làm tôi nhớ đến bài toán hình học phẳng sau đây: hãy chứng minh rằngh mọi hình đa giác đều có thể cắt thành một số (hữu hạn) các hình đa giác con rồi ghép lại thành hình vuông cùng diện tích. Có thể phát biểu bài toán cách khác là: 2 hình đa giác bất kỳ có diện tích bằng nhau, thì có thể cắt hình này thành một số mảnh (đa giác) rồi ghép thành hình kia.

Bài toán này, về mặt kiến thức thì học sinh cấp 2 cũng có thể hiểu và làm được, tuy không phải là dễ lắm. Xin mời bạn nào chưa biết thì thử làm.

Một trong những nguyên tắc quan trọng nhất của toán học là biến cái khó thành cái dễ. Để làm bài toán khó, ta có thể tìm cách “băm nhỏ” nó ra thành nhiều khúc, mỗi khúc nhỏ là một bài toán dễ hơn. Theo nguyên tắc này, tôi có thể chuyển bài toán cắt ghép hình thành nhiều bài toán nhỏ (cho các bạn học sinh):

1) Chứng minh rằng mọi hình đa giác cắt được thành cách hình tam giác (quá dễ nhỉ ?)

2) Chứng minh rằng mọi hình tam giác cắt ghép được thành một hình chữ nhật (cũng không khó)

3) Chứng minh rằng một hình chữ nhật bất kỳ có thể cắt ghép lại được thành 1 hình chữ nhật mà có 1 cạnh có độ dài cho trước (cái bài này thì hơi khó hơn)

4) tổng hợp 1),2),3) để cho ra lời giải bài cắt ghép thành hình vuông.

Cách giải phía trên chỉ cho biết là hình vuông có thể được cắt ghép thành hình đa giác bất kỳ khác, nhưng không cho biết là cần ít nhất bao nhiêu mảnh. Câu hỏi “cần bao nhiêu mảnh” thật là khó. Các bạn thử nghĩ xem:

1) Hình vuông cắt ghép thành hình tam giác đều thì cần ít nhất mấy mảnh ?

2) Hình vuông cắt ghép thành hình lục giác đều thì cần ít nhất mấy mảnh ?

3) Hình vuông cắt ghép thành hình ngũ giác đều thì cần ít nhất mấy mảnh ?

Trong quyển sách “Udivitelnyi Kvadrat” (tiếng Nga, có nghĩa: hình vuông kỳ diệu) của hai tác giả Kordemskii và Rusalev (sách cho học sinh phổ thông, xuất bản ở Nga năm 1952) có cho biết là hình vuông có thể cắt thành 5 mảnh rồi ghép lại thành lục giác đều, hay cắt thành 7 mảnh rồi ghép lại thành ngũ giác đều. Lời giải có thể tìm trong sách, sách có thể tải về từ trên mạng: http://www.koob.ru/kordemskiy_b/ (cảm ơn GS Đàm Thanh Sơn cho link này).

Làm 2 chiều chán rồi thì ta ghép hình 3 chiều. Nhưng trong 3 chiều có nhiều chuyện kỳ lạ, chỉ có trong 3 chiều mà không có trong 2 chiều:

1) Không thể cắt hình lập phương thành các mảnh da diện rồi ghép lại thành hình tứ diện đều. Đây từng là một bài toán rất khó và nổi tiếng, cho đến khi người ta tìm ra lời giải của nó. Lời giải thì lại đơn giản đến mức đáng ngạc nhiên ! Mọi người thử nghĩ hướng giải xem ? Ai sốt ruột muốn xem lời giải thì có thể xem ở link sau đây, nhưng mà cứ đòi “instant gratification” thì mất hay: bài toán cắt dán 3 chiều.

2) Nếu như ta không phải cắt thành đa diện, mà chỉ chia thành một số hữu hạn các tập con tùy ý rồi ghép lại, thì có 1 định lý còn đáng ngạc nhiên hơn nữa, là định lý Banach-Tarski: có thể chia 1 quả cầu (trong không gian R3) thành một số hữu hạn các tập con rồi ghép lại để được 2 quả cầu  có kích thước giống hệt quả cầu ban đầu ! Tức là có thể nhân đôi thể tích quả cầu bằng cách “phù phép” này. Sau khi biết định lý (hay còn gọi là nghịch lý) Banach-Tarski, chúng ta thấy chuyện nồi cơm của Thạch Sanh ăn mãi không hết thật là dễ hiểu :D